уравнение шредингера численные решения matlab

Задание функции, описывающей арктангенсальный барьер

Задание функции, описывающей Гауссов барьер

Задание функции, описывающей прямоугольный барьер (здесь и далее x - текущая координата, v0 - высота барьера, x0 - координата центральной точки барьера, A - ширина барьера)

Численное решение задачи

Для решения трехдиагонального уравнения (6) далее будем использовать метод прогонки [3].

разделив обе части на -i/2x, перепишем это уравнение в явном виде

Такая запись устраняет один проход по узлам сетки, необходимый для вычисления числителя в (4). Для нахождения на каждом шаге времени промежуточной функции определяемой уравнением

Для практических численных расчетов удобно переписать (4) в виде:

Кроме того алгоритм (4) аппроксимирует точный оператор перехода со вторым порядком точности по

оператор перехода которой унитарен, что обеспечивает постоянство для любого n.

Для дискретизации по времени наиболее удобной оказывается схема следующая неявная вычислительная схема:

где мы положили ,=

Используя конечноразностную аппроксимацию производной по времени в (1) по шагу и пространственной производной на равномерной сетке с числом узлов N+1 и шагом по пространству , получаем параболическое уравнение [2]

Обсуждение метода численного решения задачи

На основании приведенных выше рассуждений описать эволюцию во времени волнового пакета с известными в момент времени t = 0 (координатой центра пакета, шириной пакета, энергией пакета) при падении на потенциальный барьер заданной формы.

Функции, удовлетворяющие условию нормировки (2), отличны от нуля в некоторой области конечной ширины и равны к нулю вне данной области, поэтому говорят, что функция (x,t) описывает волновой пакет, который характеризуется координатой центра, энергией и шириной.

где - постоянная Планка, m - масса частицы. Величина определяет вероятность нахождения частицы в момент времени t в элементе "объема" dx в точке x. Вероятностная интерпретация означает, что следует использовать нормированные волновые функции, т.е. функции, удовлетворяющие условию

Рассмотрим решение известной квантовомеханической задачи об описании движения одномерной частицы. Для этого, как известно, необходимо найти комплексную волновую функции (x,t), являющуюся решением нестационарного уравнения Шредингера:

Постановка задачи

Решение нестационарного уравнения Шредингера